Difference in Difference

效應評估模型

“提高最低工資是否會減少就業？”

“最低工資提高是否餐廳的全職員工數會減少？”

假設 $MinWage$為「最低工資有提高」的虛擬變數， $FEmp$為餐廳全職員工數。

\[ FEmp_i=FEmp_{0,i}+\beta^*MinWage_i \]

\[ FEmp_i=\beta_0+\beta_1 MinWage_i+\epsilon_i \]

「沒有受到最低工資提高影響下的員工數」$FEmp_{0,i}$與「有無受到最低工資提高影響」无關时OLS是一致估计。

令 $s$表示餐廳所屬的州，則原本的效應模型可以寫成： \( \begin{eqnarray} FEmp_{is}=FEmp_{0,is}+\beta^*MinWage_{s} \tag{7.1} \end{eqnarray} \)

複迴歸模型

餐廳的型態（大型連鎖、咖啡店、小吃店等等）會影響員工僱用量。 \( \begin{eqnarray} FEmp_{is} =FEmp_{0,-type,is}+\beta^*MinWage_s+\gamma'type_{is} \tag{7.2} \end{eqnarray} \) 其中 \( FEmp_{0,-type,is}=FEmp_{0,is}-\mathbb{E}(FEmp_{0,is}|type_{is}) \)

在思考怱略變數偏誤(omitted variable bias)時，可能的confounder都必需放在（依實驗組/控制組分的）加總層級來思考。

固定效果

組固定效果

\[ FEmp_{is}=FEmp_{0,is}+\beta^*MinWage_{s} \]

多數時候實驗組/控制組在政策還沒施行前，他們就存在組間的特質差異，也就是 \( FEmp_{0,is}=FEmp_{0,-\alpha_s,is}+\alpha_s \) 其中$\alpha_s$ 代表因組而異的confounder效果。

若沒有其他confounder，我們可以估計以下迴歸模型： \( FEmp_{ist}=\alpha_s+\beta^* MinWage_{st}+\epsilon_{ist} \)

時間固定效果

\[ FEmp_{ist}=FEmp_{0,-(\alpha_s,\delta_t),ist}+\alpha_s+\delta_t+\beta^*MinWage_{st} \]

所對應的迴歸模型為： \( FEmp_{ist}=\alpha_s+\delta_t+\beta^* MinWage_{st}+\epsilon_{ist} \)

資料追踪/不追踪

雖然$FEmp_{ist}$ 有到個別餐廳（即有下標 $i$），然而固定效果只到組層級（即下標 $s$)，因此在估計上我們並不需要追踪同一家餐廳——各期抽樣的餐廳可以不同。

DiD 估计法

\[ \begin{eqnarray} FEmp_{ist}=\alpha_s+\delta_t+\beta^*MinWage_{st}+\epsilon_{ist} \tag{7.3} \end{eqnarray} \]

\[ FEmp_{ist}=\beta_0+\alpha_1D1_s+\delta_1B1_t+\beta_1MinWage_{st}+\epsilon_{ist} \]

• 令$D1=1$代表來自第1個州（NJ）的虛擬變數。
• 令$B1 = 1$代表政策施行「後」的虛擬變數。
• $MinWage_{st}=D1_s\times B1_t$

cluster standard error

我們有G1-G4共四群誤差項的變異數及跨群間的共變異數需要去留意，當誤差項有聚類（clustering）可能時，必需要適當的調整估計式標準誤。