Panel Data

效應評估模型

\[ mrall=mrall_{-BeerTax}+\beta^*BeerTax \]

提高啤酒稅（BeerTax）是否有助減低車禍死亡率（mrall）？

固定效應模型

令 $W$代表「州愛喝酒程度」。

• $W$與 $mrall_{-BeerTax}+$有關
• $W$與 $BeerTax$有關

\[ mrall=(mrall_{-BT}-\mathbb{E}(mrall_{-BT}|W))+\mathbb{E}(mrall_{-BT}|W) + \beta^*BeerTax \]

\[ mrall_{-BT,-W}\equiv mrall_{-BT}-\mathbb{E}(mrall_{-BT}|W) \]

\[ mrall=mrall_{-BT,-W}+\mathbb{E}(mrall_{-BT}|W)+\beta^*BeerTax \]

$mrall_{-BT,-W}$為「去除」 $W$影響的「非啤酒稅造成的車禍死亡因素」：

• 它與 $W$無關。
• 若兩筆obs有相同飲酒文化，即$W$相同，他們的 $\mathbb{E}(mrall_{-BT}|W)$ 會相同。

「假設」一個地方的飲酒文化「不隨時間改變」，即同一州在不同時點的$W$相同。

令\(\mathbb{E}(mrall_{-BT,it}|W_i)=\alpha_i\)， 故我們的效應模型可以寫成： \( mrall_{it}=mrall_{-BT,-W,it}+\alpha_i+\beta^*BeerTax_{it} \) 其中$\alpha_i$為第 $i$ 個州的固定效果：

• $BearTax$與$mrall_{-BT,-W}$無關
• $BearTax$與$\alpha$有關

組內差異最小平方法

差分OLS解决$\alpha_i$不可得的阻碍

\[ mrall_{i1}-mrall_{i0}=\beta^* (BeerTax_{i1}-BearTax_{i0})+(mrall_{-BT,-W,i1}-mrall_{-BT,-W,i0}) \]

如果$t$超過兩期，考慮用組內平均為差分比較的點。

即\(x_1-\bar{x},x_2-\bar{x},...,x_n-\bar{x}, \bar{x}=\sum_{i=1}^n x_i/n\) \( \bar{mrall}_i=\sum_{t=1}^T mrall_{it}/T \\ \bar{BeerTax}_i=\sum_{t=1}^T BeerTax_{it}/T\\ \bar{mrall}_{-BT,-W,i}=\sum_{t=1}^T mrall_{-BT,-W,it}/T \)

\[ mrall_{it}-\bar{mrall}_i=\beta^*\left( BeerTax_{it}-\bar{BeerTax}_i\right)+(mrall_{-BT,-W,it}-\bar{mrall}_{-BT,-W,i}) \]

固定效果模型下，我們可以以最小平方法估計下面的迴歸式： \( mrall_{it}-\bar{mrall}_i=\beta_0+\beta_1\left( BeerTax_{it}-\bar{BeerTax}_i\right)+\epsilon_{it} \) 其中$\hat{\beta}_1$即為$\beta^*$的一致性估計

常見的固定效果模型

• Identity fixed effect:$\alpha_i$
• Time fixed effect: $\delta_i$

\[ mrall_{-BT,it}=mrall_{-BT,-W_i,-Z_t}+\alpha_i+\delta_t \]

• $W_i$為造成效應係數估計偏誤的變數，它在$i$面向固定不變。
• $Z_t$為造成效應係數估計偏誤的變數，它在$t$面向固定不變。

如$Z_t$為全美國的景氣狀況。

對應的迴歸模型： \( mrall_{it}=\alpha_i+\delta_t+\beta_1 BeerTax_{it}+\epsilon_{it} \)

廣義的固定效果模型

\[ mrall=mrall_{-BeerTax}+\beta^*BeerTax \]

但 \( \begin{equation} mrall_{-BT,it}\not\perp BeerTax_{it} \tag{5.1} \end{equation} \)

複迴歸控制

先思考造成(5.1)的變數有哪些——統計上稱這些變數為混淆變數(confounder)。Confounder中有資料的（令為$Z$）可進一步用來擴充模型成為： \( mrall_{it}=mrall_{-BT,-Z,it}+\beta^*BeerTax_{it}+\gamma'Z_{it} \) 其中： \( mrall_{-BT,-Z}=mrall_{-BT}-\mathbb{E}(mrall_{-BT}|Z) \)

固定效果模型

Confounder中沒有資料但在某些面向固定的，假設分成以下兩類：

• $W_i$：在同個identity下固定。
• $V_t$：在同個time下固定。

\[ \begin{eqnarray} mrall_{it}=mrall_{-BT,-(Z,W,V),it}+\beta^*BeerTax_{it}+\\ \alpha_i+\delta_t+\gamma'Z_{it} \tag{5.2} \end{eqnarray} \]

(5.2)是相當廣義的固定效果效應模型——有兩個面向的固定效果及控制變數。

隨機效果模型

\[ mrall_{it}=mrall_{-BT,-Z,it}+\beta^*BeerTax_{it}+\gamma'Z_{it} \]

隨機效果模型(Random Effect model)的設定：

• 使用迴歸模型：

\[ \begin{eqnarray} mrall_{it}=\beta_0+\beta_{1}BeerTax_{it}+\gamma'Z_{it}+\nu_{it} \tag{5.3} \end{eqnarray} \]

• 假設$\nu_{it}$ 具有某種結構。

其中假设：

• $\nu_{it}\perp BeerTax_{it}$
• \(var(\alpha_i|X)=\sigma_{\alpha}^2\)
• $var(\epsilon_{it}|X)=\sigma^2$
• $cov(\epsilon_{it},\epsilon_{is}|X)=0$

隨機效果模型帶有高度誤差項假設，故不建議使用。

Hausman檢定

固定效果模型(FE)

表示使用組內差異最小平法方去估算以下迴歸模型中的\(\beta_1\): \( mrall_{it}=\beta_0+\beta_{1}BeerTax_{it}+\gamma'Z_{it}+\alpha_i+\epsilon_{it} \)

隨機效果模型(RE)

表示使用GLS去估算以下迴歸模型中的\(\beta_1\): \( mrall_{it}=\beta_0+\beta_{1}BeerTax_{it}+\gamma'Z_{it}+\nu_{it} \)

• \(\nu_{it}=\alpha_i+\epsilon_{it}\)

假設

• RE下「關於variance、covariance的假設」都成立。
• \(\epsilon_{it} \perp BeerTax_{it} | \alpha_i,Z_{it}\)

H0: \(\alpha_i \perp BeerTax_{it} |Z_{it}\)

H0为RE，拒绝则为FE